Математически софизми

     В Древна Гърция софисти са наричали философите-учители, чията задача била да научат своите ученици „да мислят, да говорят и да действат”. В повечето случаи софистите били висoко образовани хора; те не толкова предавали на учениците знания от най-различни области на гръцката наука, колкото се стремели да ги научат на изкуството на словесните състезания. За да излезнат победители в словесен двубой, софистите често се ползвали от това, че противникът им не познава достатъчно дълбоко предмета, за който става дума, че е недостатъчно внимателен и наблюдателен и поради това не е в състояние да различава лъжата от истината. В резултат на словесния двубой противникът е трябвало да се съгласи с доводите на софистите и да се признае за победен, въпреки че истината, както изглеждало била на негова страна.
     Ако в математиката чрез логическа верига от разсъждения, в едно звено на която нарочно е допусната трудно уловима грешка, искат да убедят някого в неверността на някое добре известно математическо положение, то пред нас е математически софизъм.
     Опитайте се да откриете грешката в дадените тук софизми.
     ПЪРВИ СОФИЗЪМ. „Всяка окръжност има два центъра”.

     Да вземе произволен ъгъл АВС и в произволни взети върху раменето му точки D и Е да построим перпендикуляри към съответните рамене. Нека Р е точката на пресичане на тези перпендикуляри.
     Построяваме окръжност през точките D, P и E. Нека тя пресича раменете на дадения ъгъл в точките М и К. В такъв случай ъглите PDM и PEK ще бъдат прави и понеже са вписани, както РМ, така и РК са диаметри на окръжността, т.е. окръжността има два центъра?

     ВТОРИ СОФИЗЪМ. „Катетът на правоъгълния триъгълник е равен на неговата хипотенуза”.

     Даден е правоъгълния триъгълник АВС, в който ВО е ъглополовяща на ъгъла при върха В, а РО е симетрала на АС. ОМ и OD са перпендикуляри съответно към АВ и ВС. Налице са условията на еднаквост н триъгълниците BOD и ВOМ, следователно BD=BM. От друга страна, триъгълниците COD и AOMса също еднакви, защото са правоъгълни и OM=OD - свойство на точките от ъглополовящите и АО=СО - точка О принадлежи и на симетралата. Затова ъгъл АОМ и ъгъл COD са равни, откъдето AM=CD или CD=AM. От друга страна получихме BD=BM и като съберем почленно последните две равенства, получаваме BD+DC=BM+MA или BC=AB. Но ВС е катет, а АВ хипотенуза? Защо се получава така?

 

     ТРЕТИ СОФИЗЪМ. „64 = 65”


     ЧЕТВЪРТИ СОФИЗЪМ. „Половин лев е равен на пет стотинки”